1. 版权
转载并总结自(fucking-algorithm)[https://labuladong.gitee.io/algo/1/6/]
2. 解题框架
二分查找框架如下：
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
技巧一：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。
技巧二：算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大直接相加导致溢出。
其中 ... 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
2.1 二分查找寻找一个数（基本）
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
常见问题
- 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
- 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？
当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
- 此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法:
2.2 寻找左侧边界和右侧边界的二分查找
private int find_left_bound(int[] nums, int target) {
// 采用闭区间
// 边界查找，需要添加边界出界检查。
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target) {
// 找左边界，
// 找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，
// 在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
}
}
// 使用闭区间的代价：查出界补丁
// 今天我要返回left，left右扩，所以查left边界是不是溢出的无效边界
// while跳出条件：left = right + 1， 查left是不是过大的情况
// 这种情况发生在target很大时
// ||的条件，是当target非常小时可能发生的。
if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
return -1;
}
return left;
}
private int find_right_bound(int[] nums, int target) {
// 采用闭区间
// 边界查找，需要添加边界出界检查。
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target) {
// 找右边界，
// 找到 target 时不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，
// 在区间 (mid, right] 中继续搜索，即不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
// 收缩右侧边界
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
}
}
// 使用闭区间的代价：查出界补丁
// 今天我要返回right, right边界左缩，所以查right边界是不是溢出的无效边界
// while跳出条件：right = left - 1， 查right是不是过小的情况
// 这种情况发生在target很小时
// ||的条件，是当target非常大时可能发生的。
if (right < 0 || nums[right] != target) {
return -1;
}
return right;
}
3. 总结
- 基本二分查找
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
2. 寻找左侧边界的二分查找
```java
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
- 寻找右侧边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：
int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return -1;
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}