概念

(1) P∧Q⇒P . (2)¬( P→Q)⇒P . (3)¬(P→Q)⇒¬Q. (4) P⇒P ∨Q. (5)¬P⇒P →Q. (6) Q⇒P →Q. (7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.选言推理否定式 (8) P∧(P→Q) ⇒Q. 假言推理肯定前件式 (9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .假言推理否定后件式 (10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 三段论 (11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 双条件三段论 (12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理 (13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理 (14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理 (15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) . (16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .

使用真值表法证明这些推理公式是容易的。 若从语义上给予直观说明也是不难的. 如公式(2), ¬(P →Q) ⇒P . 公式( 3), ¬(P →Q)⇒Q. 意思是说, 若 P →Q 不成立( 取假), 必有 P 为真, 还有 Q 为假. 这从 P →Q 的定义可知, 因只有当 P = T 而 Q = F 时, P →Q = F. 又如公式( 7), ¬P ∧(P ∨Q)⇒Q. 意思是说, P 不对, 而 P ∨Q 又对, 必然有 Q 对. 公式( 8) , P ∧(P →Q) ⇒Q 常称作假言推理, 或称作分离规则, 是最常使用的推理公式。 公式(10) , (P →Q) ∧(Q→R)⇒P →R 常称作三段论。

例子

日常语言运用： (1) 此人既呆又笨为真，则此人笨为真。 (2)(3)并非“犯错蕴涵失败“，即是说，”如果犯错，那么失败“为假命题,则必有犯错且不失败的例子。 (4) P⇒P ∨Q. 若犯错为真，则犯错或损失为真。 (5)¬P⇒P →Q. 若犯错为假，则犯错导致损失为真。（蕴涵怪论） (6) Q⇒P →Q. 若损失为真，则错误导致损失为真。 (7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.若犯错为假，而犯错或者失败为真，必然有失败为真。 (8) P∧(P→Q) ⇒Q. 若犯错则损失为真，犯错为真，故损失为真。 (9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .若犯错导致损失为真，没有损失，则没有犯错，即犯错不成立。 (10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 若粗心则犯错，若犯错则损失，皆真命题，则粗心导致损失亦成立。 (11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 粗心蕴涵不细心，不细心蕴涵浮躁，皆真命题，则粗心蕴涵浮躁为真命题。 (12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理 (13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理 (14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理 (15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) . (16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .

其他参考

真值表

对于蕴含词P=>Q, 当 [P] 为假时，实际上 [P] 的情况是未知的。为了让蕴含词有一个明确的定义，本着不轻易进行否定的思想，作了这种定义,即让最终P=>Q为真。

条件